ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87298
Темы:    [ Правильная пирамида ]
[ Площадь сечения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильную четырёхугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение высоты пирамиды к боковому ребру.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , α – угол между высотой PO и боковым ребром. Тогда искомое отношение высоты пирамиды к её боковому ребру равно cos α . Пусть плоскость сечения проходит через точку A перпендикулярно прямой PC и пересекает рёбра PC , PB и PD в точках M , K и L соответственно. Поскольку прямая DB и секущая плоскость перпендикулярны прямой PC , прямая BD параллельна секущей плоскости. Через прямую BD проведена плоскость BPD , пересекающая секущую плоскость по прямой KL . Значит, KL || BD , а т.к. AM BD (теорема о трёх перпендикулярах), то KL AM . Поэтому площадь четырёхугольника AKML равна половине произведения его диагоналей AM и KL . Пусть отрезки AM и KL пересекаются в точке N . Обозначим сторону квадрата ABCD через a . Так как MAC = OPC = α , а ACM = 90o - α , то

AM = AC cos α = a cos α,


ON = OA tg α = a tg α, PO = OC ctg α = a ctg α,


PN = PO - ON = a ctg α - a tg α = a( ctg α - tg α),


= = = 1 - tg 2α,


LK = BD(1 - tg 2α) = a(1 - tg 2α),


SAKML = AM· KL = a cos α · a(1 - tg 2α) =


= a2 cos α (1 - tg 2α).

Тогда
= = cos α(1 - tg 2α).

Применив формулу tg 2α = - 1 , получим уравнение
cos α (2 - ) = ,

или
2 cos α - = , 4 cos 2α - cos α - 2 = 0,

откуда находим, что cos α = (второе решение не удовлетворяет условию задачи). Следовательно,
= cos α = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7769

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .