Задача 87307

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На продолжении ребра ST за точку T правильной четырёхугольной пирамиды SPQRT с вершиной S взята такая точка B , что расстояние от неё до плоскости SPQ равно . Найдите отрезок BT , если QR = 12 , а SR = 10 .

Решение

Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и середины A и K сторон соответственно RT и PQ квадрата PQRT . Пусть SO – высота пирамиды. Тогда O – центр основания PQRT . Из прямоугольных треугольников PKS и KOS находим, что

SK = = = 8,

SO = = = = 2.
Пусть AM – высота равнобедренного треугольника AKS , опущенная на боковую сторону KS . Тогда прямая AM перпендикулярна плоскости грани PQC и
AM = = = 3.
Пусть C и D – ортогональные проекции точек T и B соответственно на плоскость грани PQS . Поскольку прямая RT параллельна плоскости грани PQS , расстояния от всех точек прямой RT до этой плоскости равны, поэтому TC = AM = 3 , а т.к. прямые TC и BD перпендикулярны плоскости грани PQS , то TC || BD . Значит, точки S , T , B , C и D лежат в одной плоскости. Из подобия треугольников STC и SBD находим, что
BS = ST· = 10· = 15.
Следовательно, BT = BS - AS = 15 - 10 = 5 .

Ответ

5.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7778