Задача 87311

Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды служит равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 8. Каждое из боковых рёбер пирамиды равно 9. Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть DH –высота треугольной пирамиды ABCD , ABC – прямоугольный треугольник, в котором C = 90^o , AC = BC = 8 . Поскольку DH – перпендикуляр к плоскости ABC , отрезки AH , BH и CH – проекции наклонных AD , BD и CD на плоскость ABC . По условию

AD = BD = CD = 9.
Прямоугольные треугольники DAH , DBH и DCH равны по катету и гипотенузе, поэтому AH = BH = CH и H – центр окружности, описанной около треугольника ABC , а т.к. этот треугольник прямоугольный, то H – середина гипотенузы AB . Далее находим:
DH = = = = 7.
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = · BC· AC· DH =

= · · 8· 8· 7 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7782