Задача 87314

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через середины сторон основания AB и AD проведена плоскость, параллельная боковому ребру SA . Найдите площадь сечения, зная сторону основания a и боковое ребро b .

Решение

Пусть M и N – середины сторон AB и AD основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды ABCD , а P , R и Q – точки пересечения секущей плоскости с рёбрами SB , SC и SD соответственно. Плоскость боковой грани ASB проходит через прямую SA , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой MP . Значит, MP || AS . Аналогично, NQ || AS и RF || AS , где F – точка пересечения AC и MN . Пусть SO – высота пирамиды. Поскольку пирамида ABCD правильная, O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD . По теореме о трёх перпендикулярах AS BD , а т.к. MP || AS и MN || BD , то MP MN . Кроме того MP и NQ – средние линии треугольников ASB и ASD , поэтому MP = AS = NQ . Значит, четырёхугольник MPQN – прямоугольник. Пусть L – точка пересечения отрезков FR и PQ . Из подобия треугольников CFR и CAS находим, что

FR = AS· = AS = b.
Поэтому
LR = FR - LF = b - b = b.
Далее находим:
S_MPRQN = S_MPQN + S_{Δ PRQ} = MN· MP + PQ· LR =

= · + · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7785