Задача 87329

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Поверхность шара радиуса r проходит через вершину правильной шестиугольной пирамиды. Рёбра пирамиды пересекают поверхность шара на расстоянии l от вершины. Найдите угол между соседними ребрами, исходящими из вершины пирамиды.

Решение

Пусть P – вершина правильной шестиугольной пирамиды, лежащая на сфере радиуса r с центром в точке O , M – центр основания пирамиды, а боковые рёбра пирамиды пересекают сферу в точках A , B , C , D , E и F , причём

AP = BP = CP = DP = EP = FP = l.
Тогда PABCDEF – правильная шестиугольная пирамида с вершиной P , вписанная в данную сферу радиуса r . Ясно, что центр сферы лежит на высоте PH пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды PABCDEF плоскостью, проходящей через точки A , D и P . Получим равнобедренный треугольник ADP , вписанный в окружность радиуса r с центром O . Продолжим радиус PO до пересечения с окружностью в точке Q . Тогда QDP – прямоугольный треугольник, а DM – его высота, проведённая из вершины прямого угла D . Поэтому PD2 = PQ· PM , откуда находим, что
PM = = .
Значит,
AB2 = DM2 = PD2 - PM2 = l2 - .
Обозначим APB = α . Из равнобедренного треугольника APB по теореме косинусов находим, что
cos α = cos APB = =

= = .

Ответ

arccos () .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7802