Задача 87330

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В шаре радиуса r проведены диаметр AB и три равные хорды AC , AD и AF под углом α друг к другу. Найдите объём тела, ограниченного плоскостями треугольников ACD , ADF , ACF , BCD , BDF и BCF .

Решение

Равнобедренные треугольники CAD , CAF и DAF равны по двум сторонам и углу между ними,поэтому CD = CF = DF . Значит, треугольник CDF – равносторонний, а т.к. боковые рёбра треугольной пирамиды ACDF с вершиной A равны, то пирамида ACDF – правильная. Её высота AH проходит через центр равностороннего треугольника CDF . Поскольку данная сфера проходит через точки C , D и F , её центр O лежит на прямой AH , поэтому вершина B пирамиды BCDF также лежит на прямой AH . Поэтому пирамида BCDF – правильная. Обозначим CD = DF = CF = a . Из равнобедренного треугольника CAD находим, что AC = . Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A , C и B . Получим прямоугольный треугольник ABC , в котором из вершины прямого угла C проведена высота CH . Далее имеем:

CH = = , AC· BC = AB· CH,

= ,
откуда
a2 = r2 sin 2 (3 - 4 sin 2 ).
Данное в условии геометрическое тело состоит из двух правильных пирамид ACDF и BCDF с общим основанием CDE , причём сумма высот этих пирамид равна диаметру шара. Пусть V – искомый объём. Тогда
V = V_ACDF + V_BCDF = S_{Δ CDF}· AH + S_{Δ CDF}· BH =

= S_{Δ CDF}· AB = · · 2r = r3 sin 2 (3 - 4 sin 2 ).

Ответ

sin 2 (3 - 4 sin 2 ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7803