Условие
В тетраэдре
ABCD известно, что
AD 
BC . Докажите, что высоты
тетраэдра, проведённые из вершин
B и
C , пересекаются, причём точка
их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых
AD и
BC .
Ответ
Через прямую
BC проведём плоскость, перпендикулярную прямой
AD . Это можно сделать, т.к. скрещивающиеся прямые
BC и
AD
перпендикулярны. Пусть
N – точка пересечения этой плоскости с
прямой
AD . Высота
BB1
треугольника
BCN перпендикулярна
пересекающимся прямым
AD и
CN плоскости грани
ADC . Значит,
BB1
– высота тетраэдра
ABCD . Аналогично, высота
CC1
треугольника
BCN также является высотой этого тетраэдра. Поскольку
высоты треугольника пересекаются, первое утверждение доказано.
Пусть
K – точка пересечения
BB1
и
CC1
. Тогда третья высота
NN1
треугольника
BCN проходит через точку
K , а т.к.
NN1
лежит в
плоскости, перпендикулярной прямой
AD , то
NN1
– общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых
BC и
AD .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7805 |
