Условие
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их
продолжения) пересекаются в одной точке.Докажите, что ортоцентрическом
тетраэдре общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер
пересекаются в одной точке.
Решение
Докажем сначала, что если высоты BB1 и CC1 тетраэдра ABCD
пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре
скрещивающихся прямых AD и BC . Для этого проведём плоскость через
прямые BB1 и CC1 , пересекающиеся в точке H . Пусть эта плоскость
пересекает прямую AD в точке M . Так как BB1 и CC1 – высоты
треугольника BMC , а высоты треугольника пересекаются в одной точке,
то MH 
BC . В то же время, прямая AD перпендикулярна плоскости BMC ,
т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB1 и CC1 этой
плоскости. Поэтому AD MH . Значит, общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых BC и AD лежит на прямой MH . Что и требовалось
доказать.
Поскольку все высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются
в одной точке, то по доказанному, точка их пересечения принадлежит
общему перпендикуляру каждой пары скрещивающихся рёбер.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7809 |
