Задача 87345

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильную четырёхугольную пирамиду SABCD вписан куб. Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании ABCD пирамиды. Вершины противоположной грани куба лежат на боковых рёбрах пирамиды. Известно, что SA = AB = a , т.е. боковое ребро пирамиды равно a и равно стороне её основания. Чему равен объём куба?

Решение

Пусть вершины K , L , M и N куба KLMNK1L1M1N1 лежат соответственно на боковых рёбрах AS , BS , CS и DS правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S , а вершины K1 , L1 , M1 и N1 – на основании пирамиды (рис.1). Поскольку пирамида правильная, ортогональные проекции её боковых рёбер на плоскость основания – это отрезки OA , OB , OC и OD , где O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD . Поэтому вершины K1 , L1 , M1 и N1 куба лежат на диагоналях основания пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки A , S и C (рис.2). Получим равнобедренный треугольник ASC и вписанный в него прямоугольник KK1M1M , вершины K и M которого лежат на боковых сторонах AS и CS , а вершины K1 и M1 – на основании AC . Обозначим через x ребро куба. Тогда

KK1 = MM1 = x, KM = K1M1 = x.
Стороны треугольника ASC равны a , a и a . Значит, треугольник ASC – прямоугольный, поэтому
SAC = SCA = 45^o, AK1 = KK1 = x, CM1 = MM1 = x,
а т.к. AC = AK1 + K1M1 + CM1 , то
a = x + x + x = x(2 + ),
откуда x = = . Следовательно,
V_KLMNK1L1M1N1 = x3 = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7818