Задача 87357

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб ABCD , в котором BAD = 60^o . Известно, что SA = SC , SD = SB = AB . На ребре DC взята точка E так, что площадь треугольника BSE наименьшая среди площадей всех сечения пирамиды, содержащих отрезок BS и пересекающих отрезок DC . Найдите отношение DE:EC .

Решение

Боковые рёбра SA и SC данной пирамиды равны, поэтому основание O высоты пирамиды равноудалено от точек A и C . Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , т.е. на прямой BD . Аналогично, точка O лежит на прямой AC . Поэтому высота пирамиды проходит через центр ромба.

Обозначим SD = SB = AB = a , EC = x . Тогда

BE = = .
Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на BE . По теореме о трёх перпендикулярах SP BE , т.е. SP – высота треугольника BSE . Опустим перпендикуляр DK из точки D на прямую BE . Тогда OP – средняя линия треугольника DBK . Пусть M – середина CD . Тогда, записав двумя способами площадь треугольника DBE , получим, что
OP = DK = · = = .
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников SOD и SOP находим, что
SO2 = SD2 - OD2 = a2 - = ,

SP2 = SO2 + OP2 = + =

= = ,

S2_{Δ BSE} = BE2· SP2 = =

=.
Поскольку площадь есть положительная величина, она достигает своего наименьшего значения тогда и только тогда, когда минимален её квадрат. Квадрат площади есть квадратный трёхчлен от x . Его наименьшее значение достигается при x = . В этом случае
EC = , DE = a - x = .
Следовательно, = .

Ответ

2:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7830