Информация о задаче

Задача 87358

Тема:

[

Теорема о трех перпендикулярах

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб ABCD, в котором $\angle$ BAD = 60^o. Известно, что SD = SB, SA = SC = AB. На ребре DC взята точка E так, что площадь треугольника BSE наименьшая среди площадей всех сечения пирамиды, содержащих отрезок BS и пересекающих отрезок DC. Найдите отношение DE : EC.

Подсказка

Обозначьте SD = SB = AB = a, EC = x. Тогда квадрат площади треугольника BSE можно представить в виде квадратного трехчлена относительно x.

Решение

Боковые ребра SD и SB данной пирамиды равны, поэтому основание O высоты пирамиды равноудалено от точек D и B. Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DB, т.е. на прямой AC. Аналогично докажем, что точка O лежит на прямой BD. Поэтому высота пирамиды проходит через центр ромба.

Обозначим SA = SC = AB = a, EC = x. Тогда

BE = $\displaystyle \sqrt{CB^{2} + CD^{2} - 2\cdot CB\cdot CD\cdot \cos 60^{\circ }}$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} + x^{2} - ax}$ .

Пусть P - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на BE. По теореме о трех перпендикулярах SP $\perp$ BE, т.е. SP - высота треугольника BSE. Опустим перпендикуляр DK из точки D на прямую BE. Тогда OP - средняя линия треугольника DBK. Пусть M - середина CD. Тогда, записав двумя способами площадь треугольника DBE, получим, что

OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DE^.BM/BE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a - x)^.(a $\displaystyle \sqrt{a^{2} + x^{2} - ax}$ =

= a $\displaystyle \sqrt{a^{2} + x^{2} - ax}$ ).

По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников SOC и SOP находим, что

SO² = SD² - OD² = a² - 3a²/4 = a²/4,

SP² = SO² + OP² = a²/4 + 3a²(a - x)²/(16(a² + x² - ax)) =

= a²(4a² + 4x² - 4ax + 3a² + 3x² - 6ax)/(16(a² + x² - ax)) =

= a²(7x² - 10ax + 7a²)/(16(a² + x² - ax)),

S²(BSE) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ BE^{2 .}SP² =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a² + x² - ax)^.a²(7x² - 10ax + 7a²)/(16(a² + x² - ax)) =

= a²(7x² - 10ax + 7a²)/64.

Поскольку площадь есть положительная величина, она достигает своего наименьшего значения тогда и только тогда, когда минимален ее квадрат. Квадрат площади есть квадратный трехчлен от x. Его наименьшее значение достигается при x = 5a/7. В этом случае

EC = 5a/7, DE = a - x = 2a/7.

Следовательно, DE/EC = 2/5.

Ответ

2 : 5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7831