Задача 87380

Темы:    [ Теорема Пифагора в пространстве ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Основание этой пирамиды – прямоугольник ABCD . Известно, что AS = 7 , BS = 2 , CS =6 , SAD = SBD = SCD . Найдите ребро DS .

Ответ

9. Пусть ABCD – прямоугольник, S – произвольная точка вне плоскости ABCD . Докажем, что

SA2 + SC2 = SB2 + SD2.
Обозначим через O точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD . Тогда SO – медиана треугольников ASC и BSD , поэтому
SO2 = (2SA2 + 2SC2 - AC2), SO2 = (2SB2 + 2SD2 - BD2),
а т.к. AC = BD (как диагонали прямоугольника), то из полученных равенств следует, что SA2 + SC2 = SB2 + SD2 . Если AS = 7 , BS = 2 и CS = 6 , то
DS2 = AS2 + CS2 - BS2 = 49 + 36 - 4 = 81.
Следовательно, DS = 9 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7874