Задача 87392

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дана треугольная пирамида ABCD . На ребре AC взята точка F , причём CF:FA = 2:9 , на ребре CD взята точка M , причём AM – биссектриса угла DAC . Через точки F , M и точку пересечения медиан треугольника DAB проведена плоскость, пересекающая ребро DB в точке N . Известно, что CA:AD = DN:NB + 1 . Известно также, что отношение площади треугольника ADB к сумме площадей всех граней пирамиды ABCD равно p , а перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость ABD , равен h . Через точку N проведена плоскость, параллельная плоскости ACB и пересекающая рёбра CD и DA в точках K и L соответственно. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду DKLN .

Решение

Пусть E – середина ребра AB , P – точка пересечения медиан треугольника ABD . Пусть прямые FM и AD пересекаются в точке T , прямая TP пересекает ребро AB в точке Q , а прямые MN и BC пересекаются в точке G . Тогда прямая QF проходит через точку G , а четырёхугольник MNQF – указанное в условии сечение. Обозначим = k . По свойству биссектрисы треугольника

= = + 1 = k + 1.
По теореме Менелая из треугольников BDE , BDC и ABC находим, что
· · = 1, · · = 1, · · = 1,
или
k· · = 1, · · = 1, k· · (k + 1) = 1.
Из второго и третьего равенства находим, что
= .
Обозначим AQ = x , EQ = y . Так как E – середина AB , то
= = , = = .
Поэтому
+ 2· = + = 1,
а т.к. k· · = 1 , то = . Таким образом, имеем уравнение
+ k = 1, или9k2 + 11k - 2 = 0,
откуда находим, что k = . Пусть s – площадь грани ABD , S – сумма площадей всех граней пирамиды, V – её объём, r – радиус шара, вписанного в пирамиду DKLN , S1 – полная поверхность пирамиды DKLN , V1 – её объём. Тогда
V = sh, V1 = V()3 = sh()3, S1 = S()2,

r = 3· = ()3· =

= · h· = · hp = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7887