Задача 87398

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На гранях двугранного угла с ребром AD лежат точки B и C . Отрезок DE параллелен плоскости треугольника ABC . В пирамиду BCDE вписан шар. Отношение расстояния от его центра до прямой DE к расстоянию от прямой DE до плоскости ABC равно k . Пусть точка B' – проекция точки B на плоскость CDE . Известно, что tg B'DE: tg BDE =l . Через середину отрезка AD проведена плоскость P , параллельная плоскости ABC . Найдите площадь сечения плоскостью P многогранника ABCDE , составленного из треугольных пирамид ABCD и BCDE , если известно, что площадь грани ABC равна S , а сумма площадей всех граней пирамиды BCDE равна .

Решение

Пусть F – ортогональная проекция точки E на плоскость ABC ; Q – основание перпендикуляра, опущенного из центра O данного шара на прямую DE ; M – середина AD ; N , K , L и G – точки пересечения плоскости P с отрезками BD , BE , CE и CD соответственно; H – точка касания шара с плоскостью CDE . Поскольку плоскость P и прямая DE параллельны плоскости ABC , а M – середина AD , точки N , K , L и G – середины отрезков BD , BE , CE и CD соответственно, а четырёхугольник NKLG – параллелограмм, в котором противоположные стороны NK и GL параллельны отрезку DE , а стороны KL и NG – отрезку BC . Тогда треугольник MNG подобен треугольнику ABC с коэффициентом . Значит,

S_{Δ MNG} = S_{Δ ABC} = S.
Пусть r – радиус шара, V – объём пирамиды BCDE , ϕ – угол между прямыми DE и BC , S1 – площадь параллелограмма NKLG . Так как площадь полной поверхности этой пирамиды равна , то V = r . С другой стороны, так как длина отрезка EF равна расстоянию между скрещивающимися рёбрами DE и BC пирамиды BCDE , то
V = DE· BC· EF sin ϕ = · 2NK· 2KL sin ϕ · EF =

= NK· KL sin ϕ · EF = S1· EF,

S1 = = · = .
Пусть BH – высота треугольника DBE . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах B'H DE . Поэтому угол B'HB – линейный угол двугранного угла при ребре DE пирамиды BCDE . Обозначим B'HB = γ . Тогда
cos γ = = = tg B'DE: tg BDE = l,

sin = = .
Поскольку данный шар вписан в рассматриваемый двугранный угол, его центр O лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому r = OQ sin . Значит,
S1 = = · = · =

= · sin · k = k = k.
Следовательно,
S_MNKLG = S + S1 = S + k = (S + k).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7893