Задача 87414

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , а высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна b . Найдите объём пирамиды.

Решение

Опустим перпендикуляр AK из вершины A основания правильной треугольной пирамиды ABCD на апофему DN , расположенную в боковой грани BCD . Так как прямая BC перпендикулярна плоскости ADN , то прямая AK перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и DN плоскости грани BDC . Значит, прямая AK перпендикулярна плоскости грани BCD . По условию задачи AK = b . Пусть M – центр основания ABC . Тогда DM – высота пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ADN . Обозначим AND = α . Тогда

sin α = = = ,

cos α = = = , tg α = = ,

DM = MN tg α = · = .
Следовательно,
V_ABCD = S_ABC· DM = · · =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7912