ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87415
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Объем призмы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб ABCD со стороной a и острым углом 60o . Ребро AA1 также равно a и образует с ребрами AB и AD углы 45o . Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Поскольку сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего, угол BAD не может быть больше 90o . Поэтому BAD = 60o . Опустим перпендикуляр A1H из вершины A1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на плоскость основания ABCD . Затем из точки H опустим перпендикуляры HP и HQ на прямые AB и AD соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах A1P AB и A1Q AD . Из прямоугольных треугольников A1AP и A1AQ находим, что

A1P = A1Q = , AP = AQ = .

Так как HP = HQ (как ортогональные проекции равных наклонных A1P и A1Q ), то AH – биссектриса угла BAD . Поэтому
HP = AP tg 30o = · = .

Из прямоугольного треугольника A1HP по теореме Пифагора находим, что
A1H = = = .

Следовательно,
VABCDA1B1C1D1 = SABCD· A1H = a· a· sin 60o· = · = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7913

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .