Задача 87418

Темы:    [ Четырехугольная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10 . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – данная пирамида с вершиной P , PO – высота пирамиды. Поскольку AP = CP , точка O равноудалена от точек A и C . Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC . Аналогично, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD , а т.к. серединные перпендикуляры к диагоналям параллелограмма пересекаются в его центре, то O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD . Пусть AB = 10 , AD = 9 , BD = 11 . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

BD2 + AC2 = 2· AB2 + 2· AD2,
откуда находим, что
AC2 = 2· AB2 + 2· AD2 - BD2 = 200 + 162 - 121 = 241.
Поэтому AC = , AO = CO = . Так как > 11 , то AC – большая диагональ параллелограмма ABCD , значит, AP и CP – большие боковые рёбра пирамиды PABCD . Поэтому AP = CP = . Из прямоугольного треугольника AOP находим, что
PO = = = = 5.
По формуле Герона находим, что
S_{Δ ABD} = = 30.
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PO = · 2· 30· 5 = 200.

Ответ

200.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7916