ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87419
Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Боковая поверхность параллелепипеда ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите площадь его полной поверхности.

Решение

Обозначим через x , y и z ребра параллелепипеда, исходящие из одной вершины. Пусть S – площадь полной поверхности параллелепипеда. Тогда


Сложим почленно первое и третье равенство и вычтем из результата второе. Получим 2x2 = a2 + c2 - b2 . Аналогично,
2y2 = a2 + b2 - c2.

Поэтому
4x2y2 = (a2 + c2 - b2)(a2 + b2 - c2) = a4 - (c2 - b2)2.

Аналогично,
4y2z2 = (a2 + b2 - c2)(b2 + c2 - a2) = b4 - (c2 - a2)2,


4x2z2 = (a2 + c2 - b2)(b2 + c2 - a2) = c4 - (a2 - b2)2.

Следовательно,
S = 2xy + 2yz + 2xz =


= + + .


Ответ

+ + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7917

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .