Задача 87419

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите площадь его полной поверхности.

Решение

Обозначим через x , y и z ребра параллелепипеда, исходящие из одной вершины. Пусть S – площадь полной поверхности параллелепипеда. Тогда

Сложим почленно первое и третье равенство и вычтем из результата второе. Получим 2x2 = a2 + c2 - b2 . Аналогично,
2y2 = a2 + b2 - c2.
Поэтому
4x2y2 = (a2 + c2 - b2)(a2 + b2 - c2) = a4 - (c2 - b2)2.
Аналогично,
4y2z2 = (a2 + b2 - c2)(b2 + c2 - a2) = b4 - (c2 - a2)2,

4x2z2 = (a2 + c2 - b2)(b2 + c2 - a2) = c4 - (a2 - b2)2.
Следовательно,
S = 2xy + 2yz + 2xz =

= + + .

Ответ

+ + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7917