Информация о задаче

Задача 87424

Тема:

[

Теорема о трех перпендикулярах

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами, равными 30^o и 60^o. Найдите объем пирамиды.

Решение

Предположим, что плоскости двух противоположных боковых граней данной пирамиды PABCD перпендикулярны плоскости основания ABCD. Тогда каждая из плоскостей этих боковых граней содержит прямую, перпендикулярную плоскости основания. Эти прямые параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Кроме того, эти две плоскости проходят через противоположные стороны прямоугольника. Таким образом, две пересекающиеся прямые одной из этих плоскостей соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Значит, эти плоскости параллельны, что невозможно, так они имеют общую точку P.

Пусть соседние боковые грани ABP и APD перпендикулярны плоскости основания. Тогда прямая AP их пересечения также перпендикулярна плоскости основания. Так как AB $\perp$ BC, то по теореме о трех перпендикулярах BP $\perp$ BC. Поэтому угол ABP - линейный угол двугранного угла между плоскостями граней BPC и ABCD. Аналогично докажем, что ADP - линейный угол двугранного угла между плоскостями граней DPC и ABCD.

Пусть $\angle$ ABP = 60^o, $\angle$ ADP = 30^o. Обозначим AB = a, AD = b, AP = h - высота пирамиды. Тогда

h = AB^.tg $\displaystyle \angle$ ABP = a^.tg60^o = a $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

h = AD^.tg $\displaystyle \angle$ ADP = b^.tg30^o = b/ $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поэтому h² = (a $\sqrt{3}$ )^.(b/ $\sqrt{3}$ ) = ab = S. Откуда h = $\sqrt{S}$ . Следовательно,

V(PABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABCD)^.h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S^.h = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S $\displaystyle \sqrt{S}$ .

Ответ

S $\displaystyle \sqrt{S}$ /3.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7922