Информация о задаче

Задача 87425

Тема:

[

Геометрия (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро и на боковую грань. Эти перпендикуляры равны соответственно a и b. Найдите объем пирамиды. При всяких ли a и b задача имеет решение ?

Решение

Опустим перпендикуляры HP и HQ из основания H высоты DH данной правильной треугольной пирамиды ABCD соответственно на боковое ребро CD и боковую грань ABD. Тогда HP = 2a, HQ = 2b. Пусть $\alpha$ и $\beta$ - углы соответственно бокового ребра и плоскости боковой грани с плоскостью основания ABC, x - сторона основания данной пирамиды, M - середина AB. Из прямоугольных треугольников HPC и HQM находим, что

CH = HP/sin $\displaystyle \angle$ DCH, MH = HQ^.sin $\displaystyle \angle$ DMH,или

x $\displaystyle \sqrt{3}$ /3 = 2a/sin $\displaystyle \alpha$ , x $\displaystyle \sqrt{3}$ /6 = 2b/sin $\displaystyle \beta$ ,

откуда

sin $\displaystyle \beta$ = (2b/a)^.sin $\displaystyle \alpha$ , sin² $\displaystyle \beta$ = (4b²/a²)^.sin² $\displaystyle \alpha$ ,

1/sin² $\displaystyle \alpha$ = (4b²/a²)/sin² $\displaystyle \beta$ .

Из прямоугольных треугольников DHC и DHM находим, что

DH = CH^.tg $\displaystyle \alpha$ , DH = MH^.tg $\displaystyle \beta$ ,

откуда

tg $\displaystyle \beta$ = (CH/MH)^.tg $\displaystyle \alpha$ = 2^.tg $\displaystyle \alpha$ , ctg $\displaystyle \alpha$ = 2^.ctg $\displaystyle \beta$ ,

ctg² $\displaystyle \alpha$ = 4^.ctg² $\displaystyle \beta$ , 1/sin² $\displaystyle \alpha$ - 1 = 4(1/sin² $\displaystyle \beta$ - 1),

(4b²/a²)/sin² $\displaystyle \beta$ - 1 = 4(1/sin² $\displaystyle \beta$ - 1),

(4b²/a²) - sin² $\displaystyle \beta$ = 4(1 - sin² $\displaystyle \beta$ ),

3^.sin² $\displaystyle \beta$ = 4(1 - b²/a²) = 4(a² - b²)/a².

Откуда

sin $\displaystyle \beta$ = 2 $\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ /(a $\displaystyle \sqrt{3}$ ),

sin $\displaystyle \alpha$ = (a/(2b))^.sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ /(b $\displaystyle \sqrt{3}$ ),

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1 - \sin ^{2}\alpha }$ = $\displaystyle \sqrt{1 - 4(a^{2} - b^{2})/(3b^{2})}$ =

= $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$ /(b $\displaystyle \sqrt{3}$ ),

x $\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ,

x = 6ab/ $\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ,

DH = HP/cos $\displaystyle \angle$ DHP = 2a/cos $\displaystyle \alpha$ = 2ab $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$ .

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABC)^.DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (x² $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (36a²b²/(a² - b²))( $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$ ) =

= 18a³b³/((a² - b²) $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$ ).

Задача имееи решение, если a/2 < b < a.

Ответ

18a³b³/((a² - b²) $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7923