ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87425
Тема:    [ Геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро и на боковую грань. Эти перпендикуляры равны соответственно a и b. Найдите объем пирамиды. При всяких ли a и b задача имеет решение ?


Решение


Опустим перпендикуляры HP и HQ из основания H высоты DH данной правильной треугольной пирамиды ABCD соответственно на боковое ребро CD и боковую грань ABD. Тогда HP = 2a, HQ = 2b. Пусть $ \alpha$ и $ \beta$ - углы соответственно бокового ребра и плоскости боковой грани с плоскостью основания ABC, x - сторона основания данной пирамиды, M - середина AB. Из прямоугольных треугольников HPC и HQM находим, что

CH = HP/sin$\displaystyle \angle$DCH, MH = HQ . sin$\displaystyle \angle$DMH,или

x$\displaystyle \sqrt{3}$/3 = 2a/sin$\displaystyle \alpha$, x$\displaystyle \sqrt{3}$/6 = 2b/sin$\displaystyle \beta$,

откуда

sin$\displaystyle \beta$ = (2b/a) . sin$\displaystyle \alpha$, sin2$\displaystyle \beta$ = (4b2/a2) . sin2$\displaystyle \alpha$,

1/sin2$\displaystyle \alpha$ = (4b2/a2)/sin2$\displaystyle \beta$.

Из прямоугольных треугольников DHC и DHM находим, что

DH = CH . tg$\displaystyle \alpha$, DH = MH . tg$\displaystyle \beta$,

откуда

tg$\displaystyle \beta$ = (CH/MH) . tg$\displaystyle \alpha$ = 2 . tg$\displaystyle \alpha$, ctg$\displaystyle \alpha$ = 2 . ctg$\displaystyle \beta$,

ctg2$\displaystyle \alpha$ = 4 . ctg2$\displaystyle \beta$, 1/sin2$\displaystyle \alpha$ - 1 = 4(1/sin2$\displaystyle \beta$ - 1),

(4b2/a2)/sin2$\displaystyle \beta$ - 1 = 4(1/sin2$\displaystyle \beta$ - 1),

(4b2/a2) - sin2$\displaystyle \beta$ = 4(1 - sin2$\displaystyle \beta$),

3 . sin2$\displaystyle \beta$ = 4(1 - b2/a2) = 4(a2 - b2)/a2.

Откуда

sin$\displaystyle \beta$ = 2$\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$/(a$\displaystyle \sqrt{3}$),

sin$\displaystyle \alpha$ = (a/(2b)) . sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$/(b$\displaystyle \sqrt{3}$),

cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1 - \sin ^{2}\alpha }$ = $\displaystyle \sqrt{1 - 4(a^{2} - b^{2})/(3b^{2})}$ =

= $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$/(b$\displaystyle \sqrt{3}$),

x$\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$,

x = 6ab/$\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$,

DH = HP/cos$\displaystyle \angle$DHP = 2a/cos$\displaystyle \alpha$ = 2ab$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$.

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(ABC) . DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(x2$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(36a2b2/(a2 - b2))($\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$) =

= 18a3b3/((a2 - b2)$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$).

Задача имееи решение, если a/2 < b < a.


Ответ

18a3b3/((a2 - b2)$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7923

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .