Задача 87432

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Цилиндр ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите наибольший возможный объём цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27 и радиус основания равен 9.

Решение

Обозначим через h и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в данный конус с вершиной A (рис.1). Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник ABC с высотой AO = 27 и основанием BC = 2· 9 = 18 (рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику KLMN , где точки K и L лежат соответственно на отрезках AB и AC , а точки M и N – на отрезке BC , причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P – точка пересечения AO и KL . Треугольник APL подобен треугольнику AOC , поэтому

= , или = ,
откуда r = .

Пусть V(h) – объём цилиндра, где 0 < h < 27 . Тогда
V(h) = π r2h = π ()2h = · (27-h)2h.
Найдём наибольшее значение функции V(h) на промежутке (0; 27) :
V'(h) = ·(-2(27-h)h+ (27 - h)2) = ·(27-h)(-2h+27-h)=

=· (27 - h)(27 - 3h) = 0.
Промежутку (0; 27) принадлежит единственный корень ( h = 9 ) полученного уравнения. Если 0 < h < 9 , то V'(h) > 0 . Поэтому на промежутке (0; 9) функция V(h) возрастает. Если 9 < h < 27 , то V'(h) < 0 . Поэтому на промежутке (9; 27) функция V(h) убывает. Следовательно, в точке h = 9 функция V(h) имеет максимум, причём
V_max = V(9) = 182π = 324π.


Пусть V(h) – объём цилиндра, где 0 < h < 27 . Тогда
V(h) = π r2h = · (27-h)2h = · ( - )2 h

()3 = · 93 = 4π · 81 = 324π,
причём равенство достигается в случае, когда - = h , т.е. при h = 9 .

Ответ

324π .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7944