Задача 87433

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите наибольший объём конуса с образующей, равной a .

Решение

Пусть h – высота конуса, r – радиус основания, V(h) – объём конуса. Ясно, что 0 < h < a . Тогда

r2 = a2 - h2, V(h) = π r2h = π (a2 - h2)h.
Найдём наибольшее значение функции V(h) на промежутке (0; a) .
V'(h) = π ((a2 - h2 - 2h2) = π (a2 - 3h2) =

= π (a - h)(a + h).
Промежутку (0; a) принадлежит единственный корень ( h = ) полученного уравнения. Если 0 < h < , то V'(h) > 0 . Поэтому на промежутке (0; ) функция V(h) возрастает. Если < h < a , то V'(h) < 0 . Поэтому на промежутке (; a) функция V(h) убывает. Следовательно, в точке h = функция V(h) имеет максимум, причём
V_max = V() = π (a2 - ()2) = π · a2 · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7945