Задача 87439

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 1, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведённому через большую диагональ основания.

Решение

Пусть M – середина стороны AB основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF . Тогда PM – апофема пирамиды, AD – большая диагональ основания. По условию задачи

S_{Δ APB} = S_{Δ APD}, или AB· PM = AD· PO,
где O – центр правильного шестиугольника ABCDEF . Кроме того,
AD = 2AO = 2, OM = AB· = .
Из прямоугольного треугольника PMO находим, что
PM = = = .
Поскольку AB· PM = AD· PO , получаем уравнение
= 2PO,
из которого находим, что PO = . Если S – площадь боковой поверхности пирамиды, то
S = 6S_{Δ APB} = 6S_{Δ APD} = 6· AD· PO = 3· 2· = 3.

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7951