Задача 87443

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Конус ] [ Цилиндр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

Ответ

2. Обозначим через h и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в конус с вершиной A (рис.1). Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник ABC с высотой AO = H и основанием BC = 2· 3 = 6 (рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику KLMN , где точки K и L лежат соответственно на отрезках AB и AC , а точки M и N – на отрезке BC , причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P – точка пересечения AO и KL . Треугольник APL подобен треугольнику AOC , поэтому

= , или = ,
откуда h = H(1 - ) . Пусть V(r) – объём цилиндра, где 0 < r < 3 . Тогда
V(r) = π r2h = π Hr2(1 - ) = π H(r2 - ).
Найдём наибольшее значение функции V(r) на промежутке (0;3) .
V'(r) = π H(2r - r2) = π Hr(2 - r).
Промежутку (0;3) принадлежит единственный корень ( r = 2 ) полученного уравнения. Если 0 < r < 2 , то V'(r) > 0 . Поэтому на промежутке (0;2) функция V(r) возрастает. Если 2 < r < 3 , то V'(r)< 0 . Поэтому на промежутке (2;3) функция V(r) убывает. Значит, в точке r = 2 функция V(r) имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в данный конус, равен 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7955