Условие
Из куска металла, имеющего форму треугольной пирамиды, боковые
грани которой образуют равные двугранные углы с плоскостью
основания, а высота проходит внутри пирамиды, выточен
конус максимального объёма с той же вершиной. Найдите объём
сточенного металла, если стороны основания пирамиды равны 13, 14
и 15, а высота равна 24.
Решение
Так как боковые грани данной пирамиды с вершиной
D образуют
равные двугранные углы с плоскостью основания, а высота
DO проходит
внутри пирамиды, то точка
O – центр окружности, вписанной в
треугольник основания. Ясно, что окружность основания конуса
наибольшего объёма с вершиной
D , расположенного внутри пирамиды, –
это окружность, вписанная в треугольник
ABC основания.
Пусть
r – радиус этой окружности,
p – полупериметр треугольника,
S
– его площадь,
V1
– объём конуса,
V – объём пирамиды. Тогда
p = 
= 21,
S = 
= 
=
7· 3· 4 = 84,
r = 
= 
= 4,
V = 
S· OD = · 84· 24 = 84· 8 = 672,
V1 = π r2· OD = · 16· 24π =
16· 8π = 128π.
Следовательно,
V - V1 = 672 - 128π = 32(21 - 4π).
Ответ
32(21
- 4
π)
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7956 |
