Задача 87458

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, сторона которого равна 60. Плоскость диагонального сечения, проходящая через большую диагональ основания, перпендикулярна плоскости основания. Площадь этого сечения равна 7200. Найдите меньшую диагональ основания, если боковое ребро равно 80 и образует с плоскостью основания угол 60^o .

Решение

Пусть плоскость диагонального сечения AA1C1C , проходящая через большую диагональ AC основания ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , перпендикулярна основанию ABCD . Тогда перпендикуляр C1K , опущенный из вершины C1 на плоскость основания ABCD , является высотой параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Значит, C1CK – угол бокового ребра CC1 с плоскостью основания ABCD . По условию задачи C1CK = 60^o . Кроме того,

S_A1C1C = CC1· AC sin C1CK = 80AC· sin 60^o = 40AC· = 7200,
откуда находим, что AC = 60 . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон, поэтому
BD2 + AC2 = 4· AB2,
откуда находим, что
BD2 = 4· AB2 - AC2 = 4· 602 - 3· 602 = 602.
Следовательно, BD = 60 .

Ответ

60.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7970