Информация о задаче

Задача 87459

Темы:	[	Площадь сечения	]
Темы:	[	Теорема о трех перпендикулярах	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ с основаниями ABCD и A₁B₁C₁D₁ известно, что AB = 29, AD = 36, BD = 25, AA₁ = 48. Найдите площадь сечения AB₁C₁D.

Решение

Опустим перпендикуляр BK из вершины B на прямую AD. Так как параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ прямой, то B₁B - перпендикуляр к плоскости основания ABCD. Поэтому BK - ортогональная проекция наклонной B₁K на плоскость основания ABCD. По теореме о трех перпендикулярах B₁K $\perp$ AD. Значит, B₁K - высота параллелограмма AB₁C₁D.

Пусть S - площадь треугольника ABD, p - полупериметр этого треугольника. Тогда

p = (36 + 29 + 25)/2 = 45,

S = $\displaystyle \sqrt{45(45 - 36)(45 - 29)(45 - 25)}$ = $\displaystyle \sqrt{45\cdot 9\cdot 16\cdot 20}$ = 9^.10^.4 = 360.

С другой стороны, S = ${\frac{1}{2}}$ AD^.BK = 18^.BK. Поэтому BK = 360/18 = 20. Из пряммоугольного треугольника B₁BK находим, что

B₁K = $\displaystyle \sqrt{B B^{2} + BK^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 20^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{2704}$ = 52.

Следовательно,

S(AB₁C₁D) = AD^.B₁K = 36^.52 = 1872.

Ответ

1872.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7971