Информация о задаче

Задача 87464

Тема:

[

Признаки перпендикулярности

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC. Кроме того, известно, что DB = 3, DC = 2, $\angle$ BDC = 90^o. Найдите отношение площади грани ADB, к площади грани ADC.

Решение

Пусть H - точка пересечения высот треугольника ABC. По условию задачи DH - высота пирамиды. Тогда BH - ортогональная проекция наклонной DB на плоскость основания ABC пирамиды. Так как BH $\perp$ AC то по теореме о трех перпендикулярах DB $\perp$ AC. Таким образом, прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым DC и AC плоскости грани ADC. Поэтому прямая BD перпендикулярна плоскости грани ADC. Значит, BD $\perp$ AD, т.е. треугольник ADB прямоугольный. Аналогично докажем, что треугольник ADC также прямоугольный, причем $\angle$ ADC = 90^o. Следовательно,

S(ADB)/S(ADC) = ( $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.BD)/( $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD^.CD) = BD/CD = 3/2.

Ответ

3/2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7976