Задача 87466

Тема:    [ Площадь сечения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух смежных сторон основания и середину оси, другое делит ось в отношении 1 : 3. Зная, что площадь первого сечения равна 12, найдите площадь второго.

Решение

Пусть плоскость, проходящая через середину Q оси OO₁ правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ и середины M и N сторон соответственно AD и CD основания ABCD пересекает диагональ BD основания ABCD в точке K, а диагональ B₁D₁ основания A₁B₁C₁D₁ - в точке L. Так как точка K лежит на средней линии MN треугольника ADC, то K - середина OD, а т.к. треугольник QO₁L равен треугольнику QOK, то L - середина O₁B₁.

Пусть прямая MN пересекается с прямыми AB и BC соответственно в точках E и F, а прямая KL пересекается с прямой BB₁ в точке G. Обозначим MN = a. Тогда

AC = 2a, ME = NF = MN = a, EF = 3a.

Пусть прямая EG пересекает AA₁ и A₁B₁ соответственно в точках H и M₁, а прямая FG пересекает CC₁ и B₁C₁ соответственно в точках T и N₁. Тогда шестиугольник MNTN₁M₁H - первое сечение. Ясно, то MH || FG, NT || EG и M₁N₁ || EF, причем M₁N₁ = MN = a. Каждый из треугольников EHM, NTF и M₁GN₁ подобен треугольнику EGF с коэффициентом, равным

EM/EF = FN/EF = M₁N₁/EF = a/(3a) = 1/3.

Значит, площадь x каждого из треугольников EHM, NTF и M₁GN₁ составляет девятую часть площади S треугольника EGF. Поэтому

S - 3 ^. S/9 = 12,

откуда находим, что S = 18.

Вторая секущая плоскость проходит через середину R отрезка OQ. Пусть эта плоскость пересекает диагональ BD основания ABCD в точке U. Тогда RU || QK. Поэтому U - середина KO. Значит, UK = OK/2 = B₁L. Следовательно, прямая QR проходит через вершину B₁.

Пусть прямая, проходящая через точку U параллельно EF, пересекает прямые BE, AD, CD и BF соответственно в точках E₁, M₂, N₂ и F₁, а прямые E₁B₁ и F₁B₁ пересекают ребра AA₁ и CC₁ соответственно в точках H₁ и T₁. Тогда пятиугольник B₁H₁M₂N₂T₁ - второе сечение.

Точки M₂ и N₂ - середины AM и CN, поэтому

N₂F₁ = NF = a/2, M₂E₁ = EM = a/2,

M₂N₂ = (AC + MN) = (2a + a) = 3a/2,

E₁F₁ = (AC + EF) = (2a + 3a) = 5a/2.

Стороны треугольника E₁B₁F₁ соответственно параллельны сторонам треугольника EGF. Поэтому треугольник E₁B₁F₁ подобен треугольнику EGF, причем коэффициент подобия равен E₁F₁/EF = (5a/2)/(3a) = 5/6. Обозначим через S₁ площадь треугольника E₁B₁F₁ Тогда

S₁ = (5/6)^{2 .} S = (25/36) ^. 18 = 25/2.

Каждый из треугольников E₁M₂H₁ и N₂F₁T₁ подобен треугольнику E₁F₁B₁, т.к. M₂H₁ || B₁F₁ и N₂T₁ || B₁H₁, причем коэффициент подобия равен E₁M₂/E₁F₁ = F₁N₂/E₁F₁ = 1/5. Поэтому площадь каждого из этих треугольников равна S₁/25 = 1/2. Следовательно, площадь второго сечения равна 25/2 - 1 = 23/2.

Ответ

11.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7978