Задача 87470

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Расстояние от точки до плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Пусть M – середина ребра D1C1 . Найдите периметр треугольника A1DM , а также расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

Решение

Из прямоугольных треугольников A1D1M , DD1M и DD1A1 по теореме Пифагора находим, что

A1M = = = ,

DM = = = ,

A1D = = = a.
Следовательно, периметр треугольника A1DM равен
A1M + DM + A1D = + + a = a + a = a( + ).
Теперь найдём расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

Пусть K – середина основания A1D равнобедренного треугольника A1MD . Тогда MK – высота треугольника A1MD . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MKD находим, что
MK = = = .
Пусть V – объём пирамиды A1D1MD . Тогда
V = S_{Δ A}1D1M· DD1 = · A1D1· D1M· DD1 = · a· · a = .
С другой стороны,
V = S_{Δ A}1MD· h,
где h – искомое расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины треугольника A1MD . Следовательно,
h = = = = .


Примем за начало координат вершину D1 , а оси координат направим по лучам D1A1 , D1C1 и D1D . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A1 , D и M , имеет вид
+ + = 1
(уравнение плоскости в отрезках), или x + 2y + z - a = 0 . Следовательно,
h = = .

Ответ

a( + ) ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7982