Задача 87472

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно l и двугранный угол между смежными боковыми гранями равен β .

Решение

Пусть сторона основания ABCD данной правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равна a , угол бокового ребра с плоскостью основания равен α . Опустим перпендикуляр BF из точки B на прямую AP . Прямая AP перпендикулярна плоскости, проходящей через точки B , D и F , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BF и BD этой плоскости (ортогональная проекция AC наклонной AP перпендикулярна прямой BD , лежащей в плоскости основания). Значит, BFD – линейный угол двугранного угла между смежными боковыми гранями APB и APD . По условию задачи BFD = β . Пусть O – центр основания пирамиды. Тогда

AO = OB = , OF = = .
Из прямоугольного треугольника AFO находим, что
sin α = sin FAO = = = ctg ,

cos α = = , tg α = = .
Из прямоугольного треугольника AOP находим, что
= OA = = ,
откуда
a = .
Кроме того,
OP = AP sin PAO = l sin α = l ctg .
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· OP = a2· OP =

= · · l ctg =.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7984