Задача 87475

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен 2α . Высота пирамиды равна h . Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Решение

Пусть сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна a , угол бокового ребра с основанием равен ϕ . Опустим перпендикуляр AF из точки A на прямую CD . Если O – центр основания, то DO – высота пирамиды ( DO = h ). Прямая OC – ортогональная проекция наклонной CD на плоскость основания пирамиды. Так как CO AB , то по теореме о трёх перпендикулярах CD AB . Таким образом, прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AF и AB плоскости треугольника AFB . Значит, прямая CD перпендикулярна этой плоскости. Поэтому AFB – линейный угол двугранного угла при боковом ребре CD пирамиды ABCD . По условию задачи AFB = 2α . Высота FM равнобедренного треугольника AFB является его медианой и биссектрисой. Поэтому

MF = AM ctg AFM = · ctg α.
С другой стороны, из прямоугольного треугольника MFC находим, что
MF = CM sin MCF = · sin ϕ.
Из уравнения
· ctg α = · sin ϕ
находим, что sin ϕ = . Тогда
cos ϕ = = ,

tg ϕ = = = .
Из прямоугольного треугольника COD находим, что
OC = = .
Пусть V – объём конуса с вершиной D , описанного около пирамиды ABCD , r – радиус основания конуса. Тогда r – радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC со стороной a . Поэтому
r = OC = .
Следовательно,
V = π r2h = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7987