Задача 87478

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1:3 , считая от вершины пирамиды. Найдите объём пирамиды, если апофема пирамиды равна a .

Решение

Пусть 2b – сторона основания данной пирамиды с вершиной P (рис.1), V – объём пирамиды. Поскольку пирамида правильная, центр вписанной в неё сферы лежит на высоте, причём сфера касается боковых граней пирамиды в точках, лежащих на апофемах, а основания – в его центре M . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PA и PB , лежащие в двух противолежащих боковых гранях (рис.2). Получим равнобедренный треугольник APB со сторонами PA = PB = a , AB = 2b и вписанную в него окружность с центром O , лежащим на высоте PM . Если окружность пересекает высоту PM в точке K , отличной от M , то по условию задачи = . Обозначим PK = x . Тогда

MK = 3x, OM = MK = , OP = OK + PK = + x = .
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому BO – биссектриса треугольника PBM . По свойству биссектрисы треугольника
= = = = ,
откуда находим, что b = . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PBM находим, что
PM = = = .
Следовательно,
V = AB2· PM = · (2b)2· = · 4· a2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7990