Задача 87479

Тема:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 4 : 5, считая от вершины пирамиды. Найдите объем пирамиды, если сторона основания пирамиды равна a.

Решение

Пусть b - апофема данной пирамиды с вершиной P, V - объем пирамиды. Поскольку пирамида правильная, центр вписанной в нее сферы лежит на высоте, причем сфера касается боковых граней пирамиды в точках, лежащих на апофемах, а основания - в его центре M. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PA и PB, лежащие в двух противолежащих боковых граней. Получим равнобедренный треугольник APB со сторонами PA = PB = b, AB = a и вписанную в него окружность с центром O, лежащим на высоте PM. Если окружность пересекает высоту PM в точке K, отличной от M, то по условию задачи PK/MK = 4/5. Пусть PK = 4x. Тогда

MK = 5x, OM = MK = 5x/2, OP = OK + PK = 5x/2 + 4x = 13x/2.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому BO - биссектриса треугольника PBM. По свойству биссектрисы треугольника

(a/2)/b = BM/BP = OM/OP = (5x/2)/(13x/2) = 5/13,

откуда находим, что b = 13a/10. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PBM находим, что

PM = = = 6a/5.

Следовательно,

V = AB^{2 .} PM = a^{2 .} 6a/5 = 2a³/5.

Ответ

2a³/5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7991