Условие
Все рёбра треугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол
между медианой одной из её граней и скрещивающимся с этой медианой
ребром пирамиды.
Решение
Пусть
M и
N – середины рёбер
BC и
AC данной пирамиды
ABCD , все
рёбра которой равны
a . Тогда
MN – средняя линия треугольника
ABC .
Поэтому
MN || AB . Значит, угол между скрещивающимися прямыми
DM и
AB
равен углу между пересекающимися прямыми
DM и
MN .
Так как
DM и
DN – высоты и медианы равносторонних
треугольников
BCD и
ACD , то
DN = DM = BD sin 
DBM = BD sin 60o = 
.
Кроме того,
MN = 
AB = 
.
Пусть
K – середина
MN . Тогда
DK – медиана и высота
равнобедренного треугольника
DMN . Следовательно,
cos DMN = 
= 
= 
= 
.
Ответ
arccos .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
8181 |
