Задача 87589

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В одной из граней двугранного угла, равного ϕ , взята точка A на расстоянии a от ребра. Найдите расстояние от точки A до плоскости другой грани.

Решение

Пусть ϕ = 90^o (рис.1). Через точку A , лежащую в грани α данного двугранного угла, проведём прямую, перпендикулярную ребру l двугранного угла. Пусть проведённая прямая пересекает ребро l в точке B . В плоскости β другой грани двугранного угла проведём прямую BC , перпендикулярную l . Тогда ABC – линейный угол данного двугранного угла. В рассматриваемом случае ABC = 90^o , поэтому прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым l и BC плоскости β . Значит, AB – перпендикуляр к этой плоскости. Тогда расстояние от точки A до плоскости β равно a . Пусть ϕ < 90^o (рис.2); A1 – ортогональная проекция точки A , лежащей в грани α данного двугранного угла, на плоскость второй его грани β ; B – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на ребро l данного двугранного угла. По теореме о трёх перпендикулярах A1B l , поэтому ABA1 – линейный угол данного двугранного угла. По условию задачи ABA1 = ϕ . Расстояние от точки A до плоскости β равно длине отрезка AA1 . Из прямоугольного треугольника ABA1 находим, что

AA1 = AB sin ABA1 = a sin ϕ.
Если ϕ > 90^o , то аналогично получим, что
AA1 = AB· sin (180^o - ϕ) = a sin ϕ.
Эта формула верна и в случае, когда ϕ = 90^o : AA1 = a sin 90^o = a .

Ответ

a sin ϕ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8192