Условие
Пусть A – некоторая точка в пространстве, не принадлежащая
плоскости α . Рассмотрим всевозможные плоскости, проходящие
через точку A и образующие один и тот же угол с плоскостью α .
Докажите, что все прямые, по которым плоскости, проходящие через точку
A , пересекаются с плоскостью α , касаются одной окружности.
Решение
Пусть A1 – ортогональная проекция точки A на плоскость α ,
l – прямая, по которой плоскость β , проходящая через точку A ,
пересекается с плоскостью α , B – основание перпендикуляра,
опущенного из точки A1 на прямую l , ϕ – угол между плоскостями
α и β .
По теореме о трёх перпендикулярах AB 
l , поэтому ABA1 –
линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β .
Значит, 
ABA1 = ϕ . Из прямоугольного треугольника ABA1
находим, что A1B = AA1 ctg ϕ . Поэтому точка B расположена на
фиксированной окружности с центром A1 и радиусом, равным AA1 ctg ϕ .
Прямая l проходит через точку B и перпендикулярна радиусу A1B .
Следовательно, прямая l – касательная к этой окружности.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
8195 |
