Задача 87597

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через стороны равностороннего треугольника проведены три плоскости, образующие угол α с плоскостью этого треугольника и пересекающиеся в точке, удалённой на расстояние d от плоскости треугольника. Найдите радиус окружности, вписанной в данный равносторонний треугольник.

Решение

Пусть плоскости, проходящие через стороны AB , BC и AC равностороннего треугольника ABC со стороной a , пересекаются в точке D и образуют с плоскостью ABC углы α . Пусть O – ортогональная проекция точки D на плоскость ABC . Опустим перпендикуляры OK , OL и OM из точки O на прямые AB , BC и AC соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах DK AB , DL BC и DM AC . Значит, DKO , DLO и DMO – линейные углы двугранных углов, образованных данными плоскостями с плоскостью ABC . По условию задачи DKO = DLO = DMO = α . Из равенства прямоугольных треугольников DKO , DLO и DMO (по катету и противолежащему острому углу) следует равенство отрезков OK , OL и OM . Поэтому точка O равноудалена от прямых AB , BC и AC . Значит, O – центр вписанной или вневписанной окружности треугольника ABC . Пусть O – центр вписанной окружности равностороннего треугольника ABC , r – радиус окружности. Тогда

r = OK = DO ctg DKO = d ctg α.
Пусть O – центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны AB , P – точка касания этой окружности с продолжением стороны AC за точку A , M – центр вписанной окружности треугольника ABC . Тогда
OC = = = = = = a,

CK = = OC = OK,

r = MK = CK = · OC = OK = DO ctg DKO = d ctg α.

Ответ

d ctg α или d ctg α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8200