Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите неравенство   (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²)  при  a, b, c, d ∈ [0, 1].

   Решение

---

Сферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку M , удалённую от O2 на расстояние 3 , проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M . Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O1O2 угол 45^o .

   Решение

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Отрезки AD , BD и CD попарно перпендикулярны. Известно, что площадь треугольника ABC равна S , а площадь треугольника ABD равна Q . Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD на плоскость ABC .

Решение

Пусть O – ортогональная проекция точки D на плоскость ABC . Тогда треугольник AOB есть ортогональная проекция треугольника ABD на плоскость ABC . Пусть прямая CO – пересекает прямую AB в точке M . Прямая DC перпендикулярна двум пересекающимся прямым DA и DB плоскости ADB . Поэтому DC AB . Таким образом, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым DC и DO плоскости CMD . Значит, CMD – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ABD . Обозначим CMD = α . По теореме о площади ортогональной проекции

cos α = = .
Следовательно,
S_{Δ AOB} = S_{Δ ADB} cos α = Q· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования