Задача 87599

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Отрезки AD , BD и CD попарно перпендикулярны. Известно, что площадь треугольника ABC равна S , а площадь треугольника ABD равна Q . Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD на плоскость ABC .

Решение

Пусть O – ортогональная проекция точки D на плоскость ABC . Тогда треугольник AOB есть ортогональная проекция треугольника ABD на плоскость ABC . Пусть прямая CO – пересекает прямую AB в точке M . Прямая DC перпендикулярна двум пересекающимся прямым DA и DB плоскости ADB . Поэтому DC AB . Таким образом, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым DC и DO плоскости CMD . Значит, CMD – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ABD . Обозначим CMD = α . По теореме о площади ортогональной проекции

cos α = = .
Следовательно,
S_{Δ AOB} = S_{Δ ADB} cos α = Q· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8202