Задача 87600

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите двугранные углы пирамиды ABCD , все ребра которой равны между собой.

Решение

Пусть все рёбра данной пирамиды равны a . Поскольку боковые рёбра DA , DB и DC пирамиды ABCD равны, её высота DO проходит через центр O описанной окружности равностороннего треугольника ABC , т.е. через центр этого треугольника. Пусть M – середина AB . Тогда CM – высота и медиана равностороннего треугольника, а т.к. DM – высота и медиана равнобедренного треугольника ADB , то DMC – линейный угол двугранного угла при ребре AB данной пирамиды. Обозначим DMC = α . Из прямоугольного треугольника DOM находим, что

cos α = cos DMO = = = .
Ясно, что остальные двугранные углы данной пирамиды также равны α .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8203