Задача 87601

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите двугранные углы пирамиды ABCD , в которой AB = BC = CA = a , AD = BD = CD = b .

Решение

Пусть DO – высота данной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D . Поскольку боковые рёбра этой пирамиды равны между собой, точка O – центр окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC , т.е. центр этого треугольника. Пусть M – середина AB . Тогда CM – высота и медиана равностороннего треугольника ABC , а т.к. DM – высота и медиана равнобедренного треугольника ADB , то DMC – линейный угол двугранного угла при ребре AB данной пирамиды. Обозначим DMC = α . Из прямоугольных треугольников DMA и DMO находим, что

DM = = = ,

cos DMC = cos α = = = .
Следовательно,
α = arccos .
Аналогично находим, что углы при рёбрах BC и AC также равны α . Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на боковое ребро DC . Поскольку CM – ортогональная проекция наклонной DC на плоскость ABC и CM AB , по теореме о трёх перпендикулярах DC AB . Прямая DC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и BF плоскости ABF . Поэтому прямая CD перпендикулярна плоскости ABF . Значит, AFB – линейный угол двугранного угла при ребре DC . Обозначим AFB = γ . Из прямоугольного треугольника DCO находим, что
DO = = = .
Так как MF и DO – высоты треугольника MDC , то MC· DO = DC· MF , откуда находим, что
MF = = = .
Так как MF – медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника AFB , то
tg = tg AFM = = = .
Следовательно,
γ = 2 arctg .
Аналогично находим, что углы при рёбрах DA и DB также равны γ .
cos γ = = = .

Ответ

arccos ; 2 arctg = arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8204