ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87602
Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Двугранный угол ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

Решение

Пусть O – основание высоты DO пирамиды ABCD . Тогда треугольники AOB , AOC и BOC – ортогональные проекции треугольников соответственно ADB , ADC и BDC на плоскость ABC . Если основание O высоты DO лежит внутри треугольника ABC (рис.1), то углы α1 , α2 и α3 – острые, поэтому

SΔ AOB = SΔ ADB cos α1 = S1 cos α1,


SΔ AOC = SΔ ADC cos α2 = S2 cos α2,


SΔ BOC = SΔ BDC cos α3 = S3 cos α3.

Следовательно,
S = SΔ AOB + SΔ AOC + SΔ BOC = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3.

Если основание O высоты DO лежит вне треугольника ABC (рис.2), то два из углов α1 , α2 и α3 – тупые. Тогда, например, в случае, когда α2 > 90o и α3 > 90o , получим, что
S = SΔ AOB - SΔ AOC - SΔ BOC =


= S1 cos α1 - S2 cos (180o - α2) - S3 cos (180o - α3) =


= S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3.

Аналогично для остальных случаев.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8205

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .