Задача 87609

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Параллельное проектирование (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите сторону правильного треугольника, являющегося ортогональной проекцией треугольника со сторонами , 3 и на некоторую плоскость.

Решение

Пусть треугольник ABC , в котором AB = , BC = и AC = 3 , ортогонально проектируется на плоскость α и его проекцией является равносторонний треугольник. Будем считать, что вершина A лежит в плоскости α . Докажем, что тогда вершины B и C должны располагаться по одну сторону от плоскости α . Предположим, что это не так. Пусть точки B и C расположены по разные стороны от плоскости α (рис.1), а B1 и C1 – ортогональные проекции этих точек на плоскость α . Тогда в треугольнике BC1C угол при вершине C1 – тупой, поэтому BC > BC1 . В то же время, BC1 = AB как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AB1B и C1B1B . Значит, BC > AB , что невозможно, т.к. AB – наибольшая сторона треугольника ABC . Обозначим AB1 = AC1 = B1C1 = x , BB1 = z , CC1 = y (рис.2). Из прямоугольных треугольников AB1B , AC1C и из прямоугольной трапеции BB1C1C находим, что

x2 + y2 = 14, x2 + z2 = 9, x2 + (y - z)2 = 6.
Вычитая почленно первое уравнение из второго и третьего, получим систему

Далее имеем:
y = , z2 - + 5 = 0, 4z4 - z4 - 16z2 - 64 + 20z2 = 0,

3z4 + 4z2 - 64 = 0, z2 = 4, x2 = 9 - z2 = 5.
Следовательно, x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8212