Задача 87630

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, лежащие в трёх гранях пирамиды.

Решение

Пусть точки K , L и M лежат в гранях соответственно ABD , BCD и ACD треугольной пирамиды ABCD . Продолжим отрезки DK , DL и DM до пересечения с рёбрами AB , BC и AC соответственно в точках K1 , L1 и M1 . Прямые MK и M1K1 лежат в плоскости DK1M1 , прямые ML и M1L1 – в плоскости DM1L1 , прямые KL и K1L1 – в плоскости DK1L1 . Если две рассматриваемые пары прямых состоят из параллельных прямых, то прямые третьей пары также параллельны. Если, например, MK || M1K1 и ML || M1L1 , то по признаку параллельности плоскостей секущая плоскость параллельна плоскости ABC . В этом случае секущая плоскость пересекает плоскости граней ABD , BCD и ACD по прямым, походящим через точки K , L и M параллельно прямым соответственно AB , BC и AC . Остался случай, когда две рассматриваемые пары прямых состоят из пересекающихся прямых. Пусть, например, прямые MK и M1K1 пересекаются в точке P , а прямые ML и M1L1 – в точке Q . Тогда секущая плоскость пересекается с плоскостью ABC по прямой PQ . Точки, в которых прямая PQ пересекает прямые AB , BC и AC принадлежат секущей плоскости. Дальнейшее построение очевидно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8233