Задача 87637

Темы:    [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Через точку пространства проведены четыре плоскости, никакие три из которых не имеют общей прямой. На сколько частей делят пространство эти плоскости? Как называются образовавшиеся части пространства?

Решение

Плоскость, проходящая через вершину трёхгранного угла и точку, лежащую внутри трёхгранного угла, разбивает трёхгранный угол на трёхгранный и четырёхгранный. Рассмотрим плоскости α и β , проходящие через данную точку O . Они разбивают пространство на 4 части. Проведём через точку O и точку A , не лежащую в плоскостях α и β , плоскость γ . Плоскости α , β и γ разбивают пространство на 8 трёхгранных углов с общей вершиной O . Через точку O и точку B , не лежащую ни в одной из плоскостей α , β и γ , проведём плоскость δ . Получим четыре плоскости, никакие три из которых не имеют общей прямой. Плоскость δ проходит через точку O и пересекает ровно шесть из восьми трёхгранных углов, образованных плоскостями α , β и γ . Значит, к уже имевшимся восьми частям пространства добавляются еще шесть. Таким образом, всего будет 14 частей, 8 из которых – трёхгранные углы, а 6 – четырёхгранные.

Пусть указанные плоскости проходят через точку O . Рассмотрим четыре плоскости, соответственно параллельные данным. Они ограничивают некоторый тетраэдр. Докажем сначала, эти плоскости разбивает пространство на 15 частей. Пусть точка M – произвольная точка пространства, расположенная вне тетраэдра. Тогда отрезок MO пересекает либо грань тетраэдра (4 варианта), либо его ребро (6 вариантов), либо проходит через вершину тетраэдра (4 варианта). Каждому варианту соответствует ровно одна (отличная от внутренности тетраэдра) часть пространства из тех, на которые пространство разбивается указанными плоскостями. Таким образом, общее число частей равно 4+6+4+1=15 . Что и требовалось доказать. Число частей, на которые четыре исходные плоскости разбивают пространство, на 1 меньше найденного (тетраэдр "превратился" в точку, и одна часть исчезла). При этом 6 частей пространства, которые соответствовали рёбрам тетраэдра, превратились в четырёхгранные углы, а 8 частей, которые соответствовали вершинам и граням, – в трёхгранные.

Ответ

На 14 частей, 8 из которых – трёхгранные углы, а 6 – четырёхгранные.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8240