Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Из 54 красных и 54 белых брусков 1×1×2 сложили куб 6×6×6.
Какое наибольшее количество красных клеточек могло оказаться на поверхности куба?
РешениеПо кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.
Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.
Решение
|
|
 |
Условие
$48$ кузнецов должны подковать $60$ лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову $5$ минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)Подсказка
Обратите внимание, меньше чем за $25$ мин подковать всех лошадей нельзя. Почему?Решение
Покажем, как надо действовать.Сначала $48$ кузнецов берут $48$ лошадей и подковывают каждой одну ногу, на это уходит $5$ минут, у $48$ лошадей одна подкова, у $12$ — ни одной.
Затем $12$ кузнецов подковывают тех лошадей, у которых ещё нет подков, а остальные $36$ кузнецов ставят $36$ лошадям вторые подковы. На это опять уходит $5$ минут, $36$ лошадей с двумя подковами и $24$ — с одной.
Теперь $24$ кузнеца ставят вторые подковы, и $24$ — третьи. Теперь $24$ лошади с тремя подковами и $36$ — с двумя.
Теперь $36$ кузнецов ставят $36$ третьих подков и $12$ — $12$ четвёртых. Теперь $48$ лошадей с тремя подковами и $12$ — с четырьмя.
Последний этап — $48$ кузнецов ставят последние подковы $48$ лошадям. Итак, за $5$ этапов, т.е. за $25$ минут, все лошади подкованы.
Покажем, что меньше чем за $25$ минут это сделать нельзя. Нужно поставить $60 \cdot 4=240$ подков. На каждую подкову нужно $5$ минут, значит, всего не меньше, чем $240 \cdot 5=1200$ минут. Но у нас есть $48$ кузнецов, значит, можно сделать это за $1200:48=25$ минут, но никак не меньше. Мы и сделали за $25$ минут.
Замечания
Пример можно построить и по-другому. Разделим всех на $12$ групп по $4$ кузнеца и $5$ лошадей. Покажем, что в каждой группе кузнецы могут подковать лошадей за $25$ минут. Расположим пять лошадей по кругу. Четыре кузнеца подходят к четырём первым лошадям и подковывают (за $5$ минут) по одному копыту. Затем каждый переходит к следующей по часовой стрелке лошади и т. д.
Ср. с задачей 102990.
