Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Г c центром в точке O. Его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка O лежит внутри треугольника BPC. На отрезке BO выбрана точка H так, что  ∠BHP = 90°.  Описанная окружность ω треугольника PHD вторично пересекает отрезок PC в точке Q. Докажите, что  AP = CQ.

   Решение

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Даны 16 чисел: 1, 11, 21, 31 и т.д. (каждое следующее на 10 больше предыдущего).
Можно ли расставить их в таблице 4×4 так, чтобы разность каждых двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, не делилась на 4?

Подсказка

Обратите внимание: разность чисел в соседних клетках может быть 10, 30, 50 и т.д. и не может быть 20, 40, 60 и т.д.

Решение

Один из вариантов приведён в таблице.

Ответ

Можно.

Замечания

Идеология. Половина наших чисел при делении на 4 даёт остаток 1, а половина – остаток 3. Раскрасим таблицу в шахматном порядке, в чёрные клетки поставим числа с остатком 1, а в белые – остальные.

Источники и прецеденты использования