Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Вершины треугольника $DEF$ лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Касательные, проведенные из центра вписанной в треугольник $DEF$ окружности к вневписанным окружностям треугольника $ABC$, равны. Докажите, что $4S_{DEF} \ge S_{ABC}$.
Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1 + , считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.
Известно, что "медные" монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех "медных" монет (по одной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?
|
|
 |
Условие
Известно,
что "медные" монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 коп. весят
соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех "медных" монет (по одной
каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом
от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь
определить бракованную монету?
Также доступны документы в формате TeX
Подсказка
Попробуйте сделать два взвешивания: при первом на одну
чашку весов положите монеты достоинством в 2 и 3 коп., а на другую —
в 5 коп.; при втором на одну чашку весов положите монеты в 1 и 2 коп.,
а на другую — в 3 коп.
Решение
Делаем два взвешивания. Первое — на одной чашке весов монеты в 2 коп. и 3 коп., на другой — в 5 коп. Второе — на одной чашке весов монеты в 1 коп. и 2 коп., на другой — в 3 коп. При этом возможны четыре варианта.
- Если вдруг все монеты небракованные — весы оба раза будут в равновесии.
- Если бракованной окажется монета в 1 коп. — при первом взвешивании весы будут в равновесии, при втором — нет.
- Если бракованной окажется монета в 5 коп. — второй раз весы будут в равновесии, первый раз — нет.
- Если оба раза весы не будут в равновесии, то бракованной окажется монета либо в 2 коп., либо в 3 коп. Тогда результат первого взвешивания покажет нам, тяжелее или легче бракованная монета, чем настоящие, а результат второго взвешивания определит эту монету.
