Задача 88309

Темы:    [ Инварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Условие

Круг разделен на 6 секторов, в котором по часовой стрелке стоят числа 1,0,1,0,0,0. Можно прибавлять по единице к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?

Решение

Занумеруем сектора числами от 1 до 6. Допустим, что единицы стоят в первом и третьем секторах (общность решения не теряется). Сумма чисел, стоящих в нечетных секторах вначале равна двум, а в четных секторах — нулю. Т.к. мы добавляем по единице одновременно в сектора с четным и нечетным номерами, то разность между этими суммами по-прежнему будет равна 2, и, следовательно, числа нельзя сделать равными.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	10
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	10.5