|
|
 |
Условие
Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Решение 1
Обозначим числа как a1, a2, ..., a1993. a1 + a2 + a3 + a4 > 0, a2 + a3 + a4 + a5 > 0, ...,
a1990 + a1991 + a1992 + a1993 > 0, a1991 + a1992 + a1993 + a1 > 0,
a1992 + a1993 + a1 + a2 > 0, a1993 + a1 + a2 + a3 > 0. Сложив левые части, получим, что 4(a1 + a2 + ... + a1993) > 0.
Решение 2
Расположим числа в порядке возрастания: a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a1993. Так как сумма любых четырёх чисел положительна, то и сумма первых четырёх чисел положительна, следовательно, четвёртое число положительно, но тогда и числа с большими номерами положительны. Добавляя их к сумме первой четвёрки, получим положительное число.
Решение 3
Обязательно есть хотя бы одно положительное число. Оставшиеся 1992 числа можно разбить произвольным образом на четвёрки, сумма чисел которых по условию положительна. Значит, и сумма всех чисел положительна.
Замечания
Утверждение верно для любого количества чисел, большего 4.
Источники и прецеденты использования
| кружок | |
| Место проведения | МЦНМО |
| класс | |
| Класс | 7 |
| год | |
| Год | 2004/2005 |
| занятие | |
| Номер | 11 |
| Название | Оценки |
| Тема | Алгебраические неравенства и системы неравенств |
| задача | |
| Номер | 11.8 |
