Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c – параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.

   Решение

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

   Решение

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Решение 1

Обозначим числа как a₁, a₂, ..., a₁₉₉₃.  a₁ + a₂ + a₃ + a₄ > 0,  a₂ + a₃ + a₄ + a₅ > 0,  ...,   a₁₉₉₀ + a₁₉₉₁ + a₁₉₉₂ + a₁₉₉₃ > 0,  a₁₉₉₁ + a₁₉₉₂ + a₁₉₉₃ + a₁ > 0,
a₁₉₉₂ + a₁₉₉₃ + a₁ + a₂ > 0,  a₁₉₉₃ + a₁ + a₂ + a₃ > 0.  Сложив левые части, получим, что  4(a₁ + a₂ + ... + a₁₉₉₃) > 0.

Решение 2

Расположим числа в порядке возрастания:  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₉₉₃.  Так как сумма любых четырёх чисел положительна, то и сумма первых четырёх чисел положительна, следовательно, четвёртое число положительно, но тогда и числа с большими номерами положительны. Добавляя их к сумме первой четвёрки, получим положительное число.

Решение 3

Обязательно есть хотя бы одно положительное число. Оставшиеся 1992 числа можно разбить произвольным образом на четвёрки, сумма чисел которых по условию положительна. Значит, и сумма всех чисел положительна.

Замечания

Утверждение верно для любого количества чисел, большего 4.

Источники и прецеденты использования